1단원 - 도함수

Calculus 1A: Differentiation

 

블로그 글처럼 쓰는 것에 얽매여 본질을 놓쳤다. 시간도 너무 오래 걸리고 진도도 안 나간다. 내가 공부하기 위해 시작한 프로젝트인데...

너무 꾸미지 말고 그냥 노트처럼 써야겠다.

 

1. 도함수

평균변화율 : 특정한 구간에서 변화율의 평균 ; 구간에서의 y변화량/x변화량 ; 두 점을 이은 직선의 기울기

순간변화율 : 평균 변화율을 특정 점에 극한으로 땡길 때의 극한값

 

도함수 : 순간변화율로 이루어진 함수, f'(x)

 

$$\displaystyle f'(x) = \lim_{ a\to x} \frac{f(a)-f(x)}{a-x} = \displaystyle \lim_{ h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

 

h대신, x의 변화량이라는 의미로 Δx 를 쓰는 경우도 많다.

 

2. 도함수의 기하학적 해석

기하학적으로는 접선의 기울기를 의미함

 

연속적인 점에서도 미분이 불가능할 수 있다. (ex> 절댓값)

하지만 모든 미분가능한 함수는 연속적이다. ( = 불연속적이면 미분불가능하다. ) - 좌극한과 우극한이 다르기 때문

 

3. 극한 안쓰고 미분하기

 

- 곱셈 : f(x) = kg(x) 일 때, f'(x) = kg'(x)가 성립한다.

증명

$$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}  $$

$$ g'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{kf(x+h)-kf(x)}{h} =\lim_{h\to 0} k \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = kf'(x)$$

 

- 덧셈 :h(x) = f(x)+g(x) 일 때, h'(x) = f'(x)+g'(x)가 성립한다.

증명

$$ h'(x)= \lim_{t\to 0}\frac{h(x+t)-h(x)}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{f(x+t)+g(x+t)-f(x)-f(g)}{t} $$

$$= \lim_{t\to 0}\frac{f(x+t)-f(x)+g(x+t)-f(g)}{t} = f'(x) + g'(x)$$

 

- 다항함수의 미분 :  \(f(x) = x^n\) 일 때,  \(f'(x) = nx^{n-1}\)

증명 (외부링크)

이는 n이 정수가 아니어도 적용이 된다. (루트대신 0.5승을 쓸 때, 분수 대신 음수를 쓸 때도 적용 가능)

 

주의점 : 이는 "지수가 상수, 밑은 변수" 일 때만 적용됨. 즉, \(x^x\)나 \(2^x\) 같은 데에서 쓰려고 헀다간 큰일남.

\((1+2x)^3\) 과 같은 경우에도 마찬가지. (편미분)

 

 

 

 

4. 라이프니츠 표기법

' (따옴표) 가 아닌, d 를 사용하는 것을 라이프니츠 표기법이라 부른다.

 

$$f'(x) = \lim_{x\to 0} \frac{Δf}{Δx} =\frac{df}{dx}$$

 

d를 delta의 극한이라고 생각하면 된다.

 

특히 라이프니츠 표기법은 "내가 어떤 변수에 대해 어떤 식을 미분할 것인지" 쉽게 표기할 수 있다는 점에서 유용. 뉴턴 표기법으로는 얘기 t에 대해 미분을 하는지, x에 대해 미분을 하는지... 알기가 어렵고, 표기하기도 불편하다.

 

또한 함수를 하나 만들어서 표시해야 하기에 한 줄을 더 잡아먹는다. 예를 들어,

$$\frac{d}{dx}x^3+2x^2$$

이렇게 표시하면 될 걸, 뉴턴 표기법으로는 f(x) =\(x^3+2x^2\)일 때의 f'(x) 이렇게 두줄에 걸쳐 표시해야 한다.

 

5. 이계도함수

이계도함수 : 미분한 함수를 한 번 더 미분한 것

f''(x) 또는 $$\frac{d^2y}{dx^2}$$

와 같이 표기한다. 아마도 \(\frac{d}{dx}\frac{dy}{dx}\)에서, 밑변은 \((dx)^2\)가 나오고 윗변은 \(d^2y\)가 나와서 그런가보다. 

 

그래프에선 기울기의 증감을 나타낸다. 이를 통해 그래프가 위로 볼록인지, 아래로 볼록인지를 판단할 수 있다.

그리고 이계도함수가 0일 때가 변곡점이 된다.

 

현실 문제에서는, "일자리 증가량이 감소했다" 와 같은 말을 할 때 볼 수 있다. 일자리를 f(x)라고 보면, 일자리 증가량은 f'(x), 일자리 증가량의 증감은 f''(x)로 알 수 있다.

 

속도에서는 가속도가 된다.

 

 

물론 이걸 또 미분할 수도 있고, 또 또 미분할 수도 있고... 몇 번을 미분해도 된다.

 

 

삼각함수의 미분

sin(x)를 미분하면 cos(x)가 된다.

cos(x)를 미분하면 -sin(x)가 된다.

 

 

증명

 

삼각함수의 합차공식을 사용 : sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB / cos(A+B) = cosAcosB + sinAsinB

극한에서 \( \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}= 1 \)

또, \( \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = 1 \)

 

$$\frac{d}{dx}\sin x = \lim_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sin x\cos h + \cos x\sin h -\sin x}{h}$$

$$ = \lim_{h\to 0} \cos x\frac{\sin h}{h} +\frac{\sin x\cos h -\sin x}{h} = \cos x - \sin x * \lim_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h} = \cos x$$

 

$$\frac{d}{dx}\cos x = \lim_{h\to 0}\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\cos x\cos h - \sin x\sin h -\cos x}{h}$$

$$ =  \lim_{h\to 0} sin x\frac{-\sin h}{h} + \lim_{h\to 0} \frac{\cos x\cos h -\cos x}{h} = - \sin x - \cos x * \lim_{h\to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = -\sin x$$